Propos sur l'hyperespace
 
par Antoine WALTER

Publié dans la revue L'OUVERT
IREM - Strasbourg - Avril 2001

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D'abord j'étais luthier, je construisais des violons et réfléchissais au style. Quand on s'appelle Antoine et que l'on est confronté à Antonio Stradivarius, Nicolo Amati, Domenico Montagnana, Jean-Baptiste Vuillaume et autres maîtres de la transformation du bois en instruments de musique, on se demande pourquoi de telles merveilles? Comment cela se fait-il, comment cela s'écrit-il, le fait d'appliquer à un matériau (érable, épicéa, ébène) un art tel qu'il transporte les gens pendant des siècles, qu'il pousse à l'admiration tant pour les yeux que pour les oreilles toute âme sensible et prête à l'émerveillement.

C'est un problème de style, soutenu dans son histoire, un problème de situation dans le monde, un problème d'économie du geste et de la pensée, un problème spécifiquement de langage et de relation dimensionnelle.

Plus loin, je travaillais le violoncelle. Là aussi, émission sonore, on pourrait dire physique, et réceptivité spatiale sont au coeur de la recherche. Comment passer du point de contact entre corde et archet à l'espace? Comment passer du signifiant, la note écrite à la phrase dite? Comment passer de la pulsion à l'oeuvre, de l'ennui et du désoeuvrement à la joie, de l'inconscient au conscient?

C'est là le travail de l'artiste que de laisser advenir les ordres cachés de son désir et de les mettre en jeu dans la représentation. Qu'elle soit fantasmatique, plastique, picturale ou modélisable, musicale, algébrique ou géométrique, cette représentation use des outils du langage. Parfois elle cherche plus loin à inventer d'autres outils pour explorer de nouvelles régions, ou à donner de nouveaux sens au commun de la métaphore.

Le patient travail d'élaboration de la pensée, d'architecturisation du monde, de mise en ordre des figures, d'harmonisation des concepts, va de paire avec un travail de deuil sur les idées reçues et sur la trame des résistances. La figure est pointée par son existence même. L'artiste pointe la représentation qu'il fait de l'accès à son désir où se réfléchissent les mille facettes de la figure. Elle n'en reste pas moins toujours plus loin et toujours au-delà. Nous voilà dans le style et dans la limite. Le style en tant qu'enchaînement des signifiants, la limite dans la nomination et la représentation même.

Aimer Alice, aimer la figure, c'est entrer dans son existentialité et dans son mystère, dans le sens qui se dégage de ses traits, dans la cohérence qu'elle invite à suivre. C'est une bonne position pour être un artiste, aussi scientifique que possible, inscrit sur les fibres de la vérité qui de toute façon restera mi-dite, voilée dans l'étrangeté de l'Être et l'altérité de l'Autre.

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Trois carrés reliés entre eux forment trois cubes.


J'ai passé une dizaine d'années à tourner et retourner cette chose mystérieuse sans trop savoir comment la ranger dans l'ordre des polyèdres et polytopes. Je l'appelais le cube au cube K3. J'y voyais plutôt une multiplication de 3 cubes entre eux qu'une addition qui aurait été 3 cubes juxtaposés. Je conjuguais ce dessin dans un petit livre intitulé "Histoire du carré", affublant chacun des 3 carrés d'une couleur primaire, la couleur secondaire correspondante formant la liaison.

J'appliquais toutes sortes de trinités à ces trois espaces topologiquement reliés:
grâces mythologiques, Sainte Trinité religieuse, noeud borroméen lacanien RSI, etc.
L'accueil de mes idées auprès des personnes que je rencontrais était très mitigé, souvent admiratif, étonné, dérouté.

Jacques Lacan, disant:" L'inconscient est structuré comme un langage", a schématisé la Psyché selon un noeud borroméen à 3 ronds, liant les trois registres fondamentaux: Réel, Symbolique, Imaginaire.
La propriété borroméenne est liée au fait que la coupure d'un rond libère les deux autres.

En 2000, je rencontrais le professeur Nicolas Rivier de la faculté de Physique des Solides, qui m'a beaucoup aidé à préciser mes notions de l'hyperespace. Grâce à lui, HMS Coxeter nous envoyait un mail disant de mon cube au cube qu'il s'agit d'un double prisme ou produit rectangulaire ou produit cartésien d'un carré et d'un triangle.

C'est un polytope bien sûr, mais non régulier, puisqu'il y a des faces carrées et des faces triangulaires. Entre les triangles, il y a 4 prismes. Ces prismes témoignent du passage d'un cube à l'autre. Ils sont l'angle de rotation d'un cube à l'autre. On pourrait dire qu'ils sont l'angle temporel si le temps est pris comme quatrième dimension. En chaque sommet de K3, tous les angles sont orthogonaux. Nous sommes dans la quatrième dimension, puisque en chaque sommet, il y a 4 arêtes.

K3 n'est pas un hypercube qui comporte 8 cubes, mais c'est un polytope de 7 espaces {4}x{3} que j'ai baptisé Hippocube pour sa ressemblance avec la race des équidés.

La modélisation de K3 en 3D m'a longtemps posé problème.
Alors qu'en 2D la représentation en perspective cavalière nous paraît orthogonale, et qu'elle est strictement orthogonale en 4D, la 3D oblige à tronquer 2 cubes en parallélépipèdes.

Plan lévogyre

Plan dextogyre

Un cube eschérien a 6 faces hélicoïdales orientées dans le même sens. L'étude des symétries à l’aide de couleurs y est intéressante. Donnant à chaque hauteur une couleur, il y aura une largeur et une profondeur de même couleur en symétrique du barycentre. Au fur et à mesure que l'on resserre le cube sur lui-même tout en gardant l'épaisseur des arêtes, la courbure de l'espace augmente.

Il arrive un moment où les 12 arêtes du cube
forment un entrelacs symétrique de 4 triangles,
dont les sommets sont inscrits dans un cuboctaèdre. Chaque hauteur, largeur, profondeur de même couleur se sont rejointes en un triangle équilatéral.

Pour ceux qui se sont intéressés à la théorie des noeuds, les sommets d'un cube eschérien sont des triskels.
Ses faces sont des quadriskels.
Pour le tétraèdre, sommets et faces sont des triskels.
Pour l'octaèdre, sommets quadriskels, faces triskels.
De plus sommets et faces ont un sens alterné: quelque soit le polyèdre, si ses faces sont lévogyres, ses sommets seront dextrogyres.

Comment s'échafaude les lieux des dimensions entre elles?
J'ai souvent remonté l'échelle de ce qui est apparent, bien connu de nos consciences:

Cela demanderait de long développements qu'il n'est pas utile de faire ici.
Mais pour comprendre spécifiquement l'hyperespace, essayons de penser le bord de ces dimensions.

Penser les polytopes réguliers de la 4° dimension ne peut se faire sans passer par l'hypersphère S3. Tout comme un polyèdre est la solidification de la sphère S2 dans R3, un polytope sera la solidification de l'hypersphère S3 dans R4.

La fibration de Hopf donnant le sens de l'espace courbe permet d'inscrire les sommets du polytope sur une grille ressemblant à des méridiens sur S2.
Sur S3 les fibres de Hopf sont des parallèles courant sur les 3 tores dans R3 ou sur l'hypersphère dans R4.

Coordonnées euclidiennes de S3 dans R4:         
  x² + y² + z² + t² = r²

N.B:  Le rayon de S3 est un carré!

L'hélice de Coxeter est un empilement de tétraèdres qui rend bien compte de la nature de ces fibres structurant l'espace courbe.

Je me suis rendu compte par hasard qu'en inversant la chiralité (le sens de la courbure) tous les 6 tétraèdres, on obtenait une roue tétraèdrique plane de 96 tétraèdres:
32 fois 3 tétraèdres formant un bateau:

Plastiquement, cette roue se ferme bien.
Mathématiquement, il y a cependant un trou angulaire de 6° 36' 11".
Voir: Polyèdres

La roue de 5 tétraèdres nous avait déjà montré un angle de cette nature.
Il a été nommé par J.F. Sadoc, lors de son étude des symétries de l'Icosaèdre et des structures moléculaires de dim 4:
    la frustration géométrique.
Il s'agit là d'une porte qui mène de l'icosaèdrisme (structures basées sur le polyèdre régulier le plus proche de la sphère: l'icosaèdre) vers l'espace courbe quand les tétraèdres non réguliers de l'icosaèdre deviennent réguliers.

C'est par un manque que la structure s'ouvre, comme dans le cycle des tonalités musicales, un manque qui fait la vibration de la musique, l'élan du discours, la source du désir. L'imperfection de la 3D mène vers un monde plus vaste et plus conscient, où le cartésianisme est intrinsèque.
C'est le passage qu'explore Alice vers les lieux de son rêve.
       

Ô saisons, ô châteaux,
Quelle âme est sans défauts ?


                       Antoine Walter